Eine Ecke weiter Teil 1 | Der Geostationäre Satellit

Die (Schlaufen)IGSO-Bahnen auf 30° und 63,4° Neigung.

Ein geostationärer Satellit, so wie ihn Kommunikationssatelliten nutzen, steht für einen Beobachter auf der Erde scheinbar still. Der Satellit bewegt sich jedoch in genau einem Tag um die Erde. Seine Bahn muss kreisrund sein, weil sonst wird er mal langsamer sein und mal schneller. Außerdem ist der Orbit auch nicht irgendwo, sondern direkt über dem Äquator, wer er irgendwo anders, würde er am Himmel nicht still stehen, aber er würde in Schlaufen um den Äquator fliegen.

Schon 1945 von dem bekannten Science Fiction Autor Arthur C. Clarke besprochen, dass auf der Höhe der Betrieb von Satelliten es sinnvoll wäre, Jahre bevor es gelingt einen Satelliten in den Geostationären Orbit zu bringen. Nämlich erst 19 Jahre später.

Für die Bahn in diesem Orbit zu halten, verbrauchen Satelliten Treibstoff, da der Mond minimal an dem Satelliten zerrt und somit die Bahn verändert. Schon eine minimale Abweichung genügt um nicht mehr synchron mit der Erde mitzufliegen. Teilweise sind die Abweichung im Orbit so stark, dass sie ein Delta-v aufbringen müssen von 50 m/sa (Meter pro Sekunde und Jahr) um ihre Bahn wieder zu korrigieren. Lohnen die Satelliten sie aufzutanken tut es nicht, da ein Raketenstart und der Treibstoff und der Satellit selbst viel Aufwand bringt für nicht viel mehr. Darum hat so ein Satellit eine gewisse Lebensspanne.

Die Rotationsgeschwindigkeit auf einer gemittelten Kugel für die Erde beträgt 1’674,32811 km/h. Das ist die anderthalbfache Schallgeschwindigkeit. Dabei bewegt sich die gesamte Erde mit derselben Winkelgeschwindigkeit. D.h. wenn wir nahe am Erdzentrum sind braucht dort die Erde nicht soviel Geschwindigkeit um einmal die Erde in knapp 24 Stunden zu drehen. Das nennt man Winkelgeschwindigkeit. So funktioniert auch der geostationäre Orbit. Er ist wie ein verlängerter Arm, welcher schneller als die Erdrotation, aber trotzdem 24 Stunden um die Erde braucht. Daher der Name, geos für Erde und stationär ist starr.

Diese Bahnhöhe nutzen öffentliche, kommerzielle sowie militärische Kommunikationssatelliten um von dort aus Daten schnell und einfach über den halben Globus zu verteilen. Auch der Fernseher. Über eine Satellitenschüssel werden Signale von dem Satelliten Astra 19,2 empfangen. Darum müssen sie sich nicht nach dem Satelliten ausrichten, nein sie sind geostationär und bleiben am Himmel immer noch stehen. Warum wir die Schüsseln auf etwa 30 Grad Höhe ausrichten müssen, liegt immer noch daran, dass die Satelliten über dem Äquator kreisen.
Schon ein Netz aus 3 Satelliten deckt zuverlässig den Globus bis fast ganz hoch zu den Polen und um den ganzen Äquator herum. Aber nicht nur Kommunikationssatelliten nutzen diese Bahn, auch Wetter & Klima- und teilweise Navigationssatelliten nutzen diese einmalige Gelegenheit.

Das Militär verschiedener Staaten nutzt die Bahnhöhe aus um eine schnelle, sichere Verbindung zu bekommen, um Cyberangriffe zu vereiteln, haben sie eine starke Verschlüsselung und einen schwierigen, komplexen Computer, mehrere Antennen und notfalls auch Netze aus meistens 6 Satelliten.

Der Preis für ein Kilogramm in diesen Orbit zu bekommen liegt im hinteren vierstelligen Bereich und werden bei mehreren Kilogramm schnell fünf- und sechsstellig.

Da die Positionen im GSO sehr gefragt sind, es nur eine begrenze Zahl an Positionen gibt, damit die Satelliten nicht durch Interferenzen, Störungen in ihrer Sendung und Empfang haben und oft heftige Streitereien auf internationaler Ebene entbrannten, regelt die internationale Telekommunikationsunion die Plätze für Satelliten. 1976 erklärten auch acht Staaten nah am Äquator ihre Ansprüche auf den Raum des GSOs über ihnen als Staatsgebiet. Daran haltet sich allerdings ziemlich niemand.

Die Mathematik dahinter

Gravitationskonstante: G = 6,6743*10^-11
Pi: (15 Nachkommastellen) π = 3,141592653589793
Erdradius am Äquator: r⊕Äquator = 6’378 km
Erdradius: r = 6’371 km
Erdmasse: M = 5,9722*10^24 kg
Tag: 23,93447 h / 86’164,092 sec (23h 56min 4,1sec)
Erdumfang: u = 40’075,161 km
Rotationsgeschwindigkeit: v = 1’674,32811 km/h / 465,09114 m/s
Höhe des GSO: h = 35’793,243 km
Höhe des GSO am Äquator: ca. 35’786 km
Umfang der Bahn im GSO: uGSO = 264’925,78352 km
Geschwindigkeit im GSO: v = 3’074,6138686 m/s (11’068,60993 km/h)
Differenz durch Runden: Δm/s = 1,4542585 sec (16,87777897 ppm (Teile pro Millionen))

Der Erdradius beträgt tatsächlich 6’371 km. Und die Höhe der Bahn über der gemittelten Erdoberfläche beträgt 35’793,243 km. Der Erdradius am Äquator beträgt nämlich 6’378 km und die gewisse Bahn am Äquator bei ca. 35’786 km.
Sie rotiert mit: Pi * dErde / 23,93447 h (~3,14159 * 12’756,32 km / 24 h) Das machen 40’075,161 km / 23,93447 h. Und wir bekommen eine Rotationsgeschwindigkeit von 1’674,32811 km/h.

Da Geostationäre Satelliten am selben Punkt vom Himmel stehen, müssen sie genauso schnell sein, sodass sie die standhafte Position halten können. Da die Erde eine Kugel ist, muss sie nur dieselbe Winkelgeschwindigkeit halten.Um das zu kontrollieren berechnen wir nun den Orbit auf 35’793,248 km Höhe. Die Formel dazu ist: v = Wurzel aus G * M / r + h. v ist die Geschwindigkeit, G die Gravitationskonstante, M die Masse, in dem Fall der der Erde, r ist der Erdradius und h ist die Höhe von der Erdoberfläche.
Die Masse der Erde beträgt 5,972*10^24 kg. Die Gravitationskonstante beträgt 6,6743*10^-11 Der Radius der Erde beträgt 6’371 km. Und die Höhe von Geostationären Satelliten ab der Erdoberfläche ab beträgt 35’793,248 km. Jetzt geben wir das in die Formel ein: v = Wurzel aus 6,6743*10^-11 * 5,972*10^24 kg / 6’371’000 m + 35’793’248 m Das G und M, r und h zusammengefasst (ohne Einheiten): v = Wurzel aus 3,98589196*10^15 / 42’164’248; v² = 9’453’250,4409897 m/s; v = 3’074,6138686 m/s

Und wir sehen, dass diese Aussage sich mit der Rotationsgeschwindigkeit deckt, da die Winkelgeschwindigkeit gleich ist. Der gemittelte Umfang der Erde liegt bei 40’075,161 km wie wir errechnet haben, da sich die Erde mit 1’674,32811 km/h ungefähr dreht dauert eine Drehung 23,93447 h. Das haben wir schon oben berechnet.
Jetzt kommt aber die geostationäre Bahn. Da die auch kreisrund sein muss, können wir den Umfang mit Pi und dem Radius der Bahn berechnen. Der Radius der Bahn beträgt nochmal 42’164,248 km. Den Umfang eines Kreises bekommen wir mit Pi * d. Der Durchmesser ist r * 2. Das sind dann 84’328,496 km. Das mit Pi sind dann ein Umfang von 264’925,78352 km. Die Dauer des Orbits können wir jetzt durch t = s / v ermitteln. t = 264’925,78352 km / 3,0746138686 km/s. t = 86’165,5462585 sec.
Wenn ein Tag 23,93447 h hat und ein Stunde 3600 sec, (60 min * 60 sec) dann hat ein Tag 86’164,092 sec. Das passt durch die Auf-/Abrundungen von den ganzen Rechnungen. Denn die Differenz liegt nun bei 1,4542585 sec. Insofern ist ein Satellit auf der Geostationären Bahn 3’074,6138686 m/s schnell. Das sind 11’068,60993 km/h (Umrechnungsfaktor von m/s auf km/h: mal 3,6)
Falls das sich nicht genau deckt mit euren Nachrechnungen, dann liegt es bei der Auf/Abrundung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geosynchrone_Umlaufbahn
https://de.wikipedia.org/wiki/Geostationärer_Satellit
http://lakdiva.org/clarke/1945ww/

YouTube-Video von Raumzeit.

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